Rangkuman Materi, Rujukan Soal Dan Pembahasan Irisan Dua Lingkaran
Irisan dua bundar - materi bundar merupakan salah satu bahan dalam matematika yang sangat asyik untuk dibahas. selain bahan yang di cakup cukup banyak, bahan bundar juga mempunyai kesulitan tersendiri dalam mempelajarinya.
lalu dengan kesulitan menyerupai itu apakah lantas kita akan menyerah? tentu tidak. apapun materinya kita harus yakin bisa.
salah satu bahan pada matematik peminatan yaitu perihal irisan dua lingkaran. disini mimin sudah menyiapkan materi, pola soal irisan dua bundar dan penyelesaiannya. bahan ini biasayan ada pada jenjang kelas 11 kurikulum 2013. semoga tidak lama, eksklusif saja ya disimak.
1. Berpotongan
Dua bundar dikatakan berpotongan kalau jarak antara kedua titik sentra lingkaran
M1M2 < r1 + r2
2. Bersinggungan
Dua bundar dikatakan bersinggungan luar kalau jarak antara kedua titik sentra bundar M1M2= r1 + r2
Dua bundar dikatakan bersinggungan dalam kalau jarak antara kedua titik sentra lingkaranM1M2 = |r1 - r2|
3. Tidak Bersinggungan
Dua bundar dikatakan tidak bersinggungan luar kalau jarak antara kedua titik sentra lingkaranM1M2 > r1 + r2
Dua bundar dikatakan tidak bersinggungan dalam kalau jarak antara kedua titik sentra bundar ialah nol (M1M2 = 0 -> M1 = M2) dan r2 > r1
Namun perlu diketahui juga, dua bundar sanggup tidak bersinggungan dalam kalau salah satu bundar berada di dalam bundar yang lain, M1 ≠ M2 dan r2 > r1
Panjang garis singgung komplotan dalam ialah panjang ruas garis yang dibuat oleh titik-titik singgung bundar dengan garis singgung komplotan dalam.
“Kuadrat dari panjang garis singgung komplotan dalam bundar sama dengan kuadrat dari jarak titik-titik sentra kedua bundar dikurangi dengan kuadrat dari jumlah panjang jari-jarinya”.
Panjang garis singgung komplotan luar dua bundar yang mempunyai jari-jari r1 dan r2 dengan r1 > r2 , serta jarak kedua sentra bundar d ialah :
“Kuadrat dari panjang ruas garis singgung komplotan luar dua bundar sama dengan kuadrat dari jarak titik sentra kedua bundar dikurangi dengan kuadrat dari selisih jari-jarinya”.
Panjang garis singgung komplotan dalam dua bundar yang mempunyai jari-jari r1 dan r2, serta jarak kedua sentra bundar d ialah :
Dua buah roda sepeda yang jarak kedua porosnya ialah 78 cm, roda pertama mempunyai panjang jari-jari 50 cm dan roda kedua 20 cm. Pada kedua roda dipasang rantai. Tentukan panjang rantai yang tidak melekat pada roda!
Penyelesaian
Permasalahan di atas merupakan penerapan dari konsep garis singgung komplotan luar dua lingkaran.
Jadi, panjang rantai yang tidak melekat pada roda sepeda ialah 8 cm.
Contoh soal 2
Sebanyak 8 buah tabung disusun menyerupai pada gambar di samping, kemudian diikat dengan seutas tali. Jika panjang jari-jari tabung 14 cm, maka tentukan panjang tali terpendek yang dipakai untuk mengikat tabung-tabung tersebut!
Penyelesaian
1. Jarak sentra dua bundar = diameter bundar = 28 cm
2. Jumlah panjang tali di sudut-sudut tabung = keliling bundar = πd = 88 cm
Jadi, panjang tali terpendek yang dipakai untuk mengikat tabung ialah :
(8 x 28 cm) + 88 cm = 312 cm
Contoh Soal 3
Dua bundar pada bidang mempunyai titik sentra yang sama. Jari-jari bundar besar ialah empat kali jari-jari bundar kecil. Jika luas tempat di antara kedua bundar ialah 8 satuan luas, hitunglah luas tempat bundar kecil.
Penyelesaian
Misalkan jari-jari bundar besar = R dan jari-jari bundar kecil = r sehingga diperoleh
R = 4r
Dengan demikian,
Jadi, luas tempat bundar kecil ialah 8/15 satuan luas.
Contoh soal 4
Pak Agus sedang merancang sebuah gerobak menyerupai tampak pada gambar di bawah ini.
Pada salah satu sisi gerobak tersebut terdapat sebuah papan berbentuk trapesium yang menghubungkan kedua roda gerobak. Apabila jari-jari roda yang besar ialah r1 = 13 cm, jari-jari roda yang kecil ialah r2 = 6 cm, jarak titik sentra roda L1 dan roda L2 ialah M1M2 = 25 cm, maka berapakah luas papan yang menghubungkan kedua roda tersebut?
Penyelesaian
Kita hitung terlebih dahulu panjang garis singgung komplotan luar PQ.
Adapun luas trapesium PM1M2Q adalah
Jadi, luas papan penghubung kedua roda tersebut ialah 228 cm2
Contoh Soal 5
Diketahui persamaan lingkaran
L1 : x2 + y2 + 8x + 6y - 56 = 0
L2 : x2 + y2 - 8x - 6y - 24 = 0
Tunjukkan bahwa kedua bundar tersebut berpotongan!
Penyelesaian
Syarat dua bundar berpotongan ialah kalau jarak antara kedua titik sentra bundar lebih kecil dari jumlah kedua jari-jari lingkaran. Misalkan M1M2 merupakan jarak antara dua sentra bundar dengan r1 dan r2 ialah jari-jari kedua lingkaran, maka M1M2 < r1 + r2
L1 : x2 + y2 + 8x + 6y - 56 = 0
mempunyai sentra M1(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (8) , -1/2 (6)) = (-4, -3)
dan
L2 : x2 + y2 - 8x - 6y - 24 = 0
mempunyai sentra M2(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (-8) , -1/2 (-6)) = (4,3)
dan
M1M2 merupakan jarak dari (-4 , -3) ke (4,3).
Karena r1 + r2 = 9 + 7 = 16 dan M1M2 = 10, maka M1M2 < r1 + r2.
Dengan demikian, kedua bundar berpotongan.
Contoh soal 6
Diketahui persamaan lingkaran
L1 : x2 + y2 + 6x - 4y - 23 = 0
L2 : x2 + y2 - 12x + 20y + 55 = 0
Tunjukkan bahwa bundar saling bersinggungan di luar!
Penyelesaian
Syarat dua bundar bersinggungan di luar adalah
M1M2 = r1 + r2
L1 : x2 + y2 + 6x - 4y - 23 = 0
mempunyai sentra M1(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (6) , -1/2 (-4)) = (-3, 2)
dan
L2 : x2 + y2 - 12x + 20y + 55 = 0
mempunyai sentra M2(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (-12) , -1/2 (20)) = (6 , -10)
dan
M1M2 merupakan jarak dari (-3 , 2) ke (6 , -10).
Karena r1 + r2 = 6 + 9 = 15 = M1M2 maka kedua bundar bersinggungan di luar.
Contoh soal 7
Diketahui persamaan lingkaran
L1 : x2 + y2 + 20x - 12y + 72 = 0
L2 : x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0
Tunjukkan bahwa kedua bundar tidak berpotongan!
Penyelesaian
L1 : x2 + y2 + 6x - 4y - 23 = 0
mempunyai sentra M1(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (20) , -1/2 (-12)) = (-10, 6)
dan
L2 : x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0
mempunyai sentra M2(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (-4) , -1/2 (-2)) = (2,1)
dan
Ada dua jenis bundar dikatakan tidak berpotongan, yaitu dua bundar tidak berpotongan luar dengan M1M2 > r1 + r2 dan dua bundar tidak berpotongan dalam (sepusat / jarak antara dua titik sentra bundar (M1M2) ialah nol ⟺ M1 = M2 dan r1 > r2 dan tidak sepusat).
Sekarang, kita akan mengecek titik sentra dari kedua bundar tersebut untuk mengatakan kedua bundar tersebut tidak berpotongan luar atau tidak berpotongan dalam.
Titik sentra bundar pertama terhadap bundar kedua.
Substitusi sentra (-10,6) terhadap bundar L2 : x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0
Syarat titik berada di dalam bundar ialah K < 0
Karena
K = (-10)2 + 62 - 4(-10) - 2(6) - 11 = 100 + 36 + 40 - 12 - 11 = 153 > 0
maka sentra bundar pertama berada di luar bundar kedua.
Titik sentra bundar kedua terhadap bundar pertama.
Substitusi sentra (2,1) terhadap bundar L1 : x2 + y2 + 20x - 12y + 72 = 0
Syarat titik berada di dalam bundar ialah K < 0
Karena
K = 22 + 12 + 20(2) - 12(1) + 72 = 4 + 1 + 40 - 12 + 72 = 103 > 0
maka sentra bundar pertama berada di luar bundar pertama.
Jadi , sanggup kita simpulkan bahwa kedua bundar tidak berpotongan dalam, selanjutnya akan kita tunjukkan bahwa kedua bundar tersebut tidak berpotongan luar.
Syarat dua bundar tidak berpotongan luar adalah
M1M2 > r1 + r2
M1M2 merupakan jarak dari (-10,6) ke (2,1)
Karena
M1M2 = 13
r1 + r2 = 8 + 4 = 12
maka M1M2 > r1 + r2
Dengan demikian, kedua bundar tidak berpotongan di luar.
Contoh soal 8
Diketahui jari-jari bundar L1 yaitu r1 = 13cm dan jari-jari L2 yaitu r2 = 6cm.
Jika jarak titik sentra kedua bundar ialah M1M2 = 25cm, maka tentukan panjang garis singgung komplotan luar kedua bundar tersebut!
Penyelesaian
Diketahui :
• r1 = 13cm
• r2 = 6cm
• M1M2 = 25cm
Ditanyakan : panjang garis singgung komplotan luar PQ
Jadi , panjang garis singgung komplotan luar kedua bundar ialah 24 cm.
sekian soal dan pembahasan irisan dua lingkarannya. semoga sanggup menjawab pertanyaan teman-teman semua.
lalu dengan kesulitan menyerupai itu apakah lantas kita akan menyerah? tentu tidak. apapun materinya kita harus yakin bisa.
salah satu bahan pada matematik peminatan yaitu perihal irisan dua lingkaran. disini mimin sudah menyiapkan materi, pola soal irisan dua bundar dan penyelesaiannya. bahan ini biasayan ada pada jenjang kelas 11 kurikulum 2013. semoga tidak lama, eksklusif saja ya disimak.
Contoh soal dan pembahasan irisan dua lingkaran
Jika M1M2 merupakan jarak antara dua sentra bundar dan r1 dan r2 merupakan jari-jari kedua lingkaran, maka :1. Berpotongan
Dua bundar dikatakan berpotongan kalau jarak antara kedua titik sentra lingkaran
M1M2 < r1 + r2
2. Bersinggungan
Dua bundar dikatakan bersinggungan luar kalau jarak antara kedua titik sentra bundar M1M2= r1 + r2
Dua bundar dikatakan bersinggungan dalam kalau jarak antara kedua titik sentra lingkaranM1M2 = |r1 - r2|
3. Tidak Bersinggungan
Dua bundar dikatakan tidak bersinggungan luar kalau jarak antara kedua titik sentra lingkaranM1M2 > r1 + r2
Dua bundar dikatakan tidak bersinggungan dalam kalau jarak antara kedua titik sentra bundar ialah nol (M1M2 = 0 -> M1 = M2) dan r2 > r1
Namun perlu diketahui juga, dua bundar sanggup tidak bersinggungan dalam kalau salah satu bundar berada di dalam bundar yang lain, M1 ≠ M2 dan r2 > r1
Panjang garis singgung komplotan dalam ialah panjang ruas garis yang dibuat oleh titik-titik singgung bundar dengan garis singgung komplotan dalam.
“Kuadrat dari panjang garis singgung komplotan dalam bundar sama dengan kuadrat dari jarak titik-titik sentra kedua bundar dikurangi dengan kuadrat dari jumlah panjang jari-jarinya”.
Panjang garis singgung komplotan luar dua bundar yang mempunyai jari-jari r1 dan r2 dengan r1 > r2 , serta jarak kedua sentra bundar d ialah :
“Kuadrat dari panjang ruas garis singgung komplotan luar dua bundar sama dengan kuadrat dari jarak titik sentra kedua bundar dikurangi dengan kuadrat dari selisih jari-jarinya”.
Panjang garis singgung komplotan dalam dua bundar yang mempunyai jari-jari r1 dan r2, serta jarak kedua sentra bundar d ialah :
Contoh soal irisan dua lingkaran
Contoh Soal 1Dua buah roda sepeda yang jarak kedua porosnya ialah 78 cm, roda pertama mempunyai panjang jari-jari 50 cm dan roda kedua 20 cm. Pada kedua roda dipasang rantai. Tentukan panjang rantai yang tidak melekat pada roda!
Penyelesaian
Permasalahan di atas merupakan penerapan dari konsep garis singgung komplotan luar dua lingkaran.
Jadi, panjang rantai yang tidak melekat pada roda sepeda ialah 8 cm.
Contoh soal 2
Sebanyak 8 buah tabung disusun menyerupai pada gambar di samping, kemudian diikat dengan seutas tali. Jika panjang jari-jari tabung 14 cm, maka tentukan panjang tali terpendek yang dipakai untuk mengikat tabung-tabung tersebut!
Penyelesaian
1. Jarak sentra dua bundar = diameter bundar = 28 cm
2. Jumlah panjang tali di sudut-sudut tabung = keliling bundar = πd = 88 cm
Jadi, panjang tali terpendek yang dipakai untuk mengikat tabung ialah :
(8 x 28 cm) + 88 cm = 312 cm
Contoh Soal 3
Dua bundar pada bidang mempunyai titik sentra yang sama. Jari-jari bundar besar ialah empat kali jari-jari bundar kecil. Jika luas tempat di antara kedua bundar ialah 8 satuan luas, hitunglah luas tempat bundar kecil.
Penyelesaian
Misalkan jari-jari bundar besar = R dan jari-jari bundar kecil = r sehingga diperoleh
R = 4r
Dengan demikian,
Jadi, luas tempat bundar kecil ialah 8/15 satuan luas.
Contoh soal 4
Pak Agus sedang merancang sebuah gerobak menyerupai tampak pada gambar di bawah ini.
Pada salah satu sisi gerobak tersebut terdapat sebuah papan berbentuk trapesium yang menghubungkan kedua roda gerobak. Apabila jari-jari roda yang besar ialah r1 = 13 cm, jari-jari roda yang kecil ialah r2 = 6 cm, jarak titik sentra roda L1 dan roda L2 ialah M1M2 = 25 cm, maka berapakah luas papan yang menghubungkan kedua roda tersebut?
Penyelesaian
Kita hitung terlebih dahulu panjang garis singgung komplotan luar PQ.
Adapun luas trapesium PM1M2Q adalah
Jadi, luas papan penghubung kedua roda tersebut ialah 228 cm2
Saran Artikel : Contoh soal dan pembahasan limit fungsi Aljabar
Contoh Soal 5
Diketahui persamaan lingkaran
L1 : x2 + y2 + 8x + 6y - 56 = 0
L2 : x2 + y2 - 8x - 6y - 24 = 0
Tunjukkan bahwa kedua bundar tersebut berpotongan!
Penyelesaian
Syarat dua bundar berpotongan ialah kalau jarak antara kedua titik sentra bundar lebih kecil dari jumlah kedua jari-jari lingkaran. Misalkan M1M2 merupakan jarak antara dua sentra bundar dengan r1 dan r2 ialah jari-jari kedua lingkaran, maka M1M2 < r1 + r2
L1 : x2 + y2 + 8x + 6y - 56 = 0
mempunyai sentra M1(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (8) , -1/2 (6)) = (-4, -3)
dan
L2 : x2 + y2 - 8x - 6y - 24 = 0
mempunyai sentra M2(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (-8) , -1/2 (-6)) = (4,3)
dan
M1M2 merupakan jarak dari (-4 , -3) ke (4,3).
Karena r1 + r2 = 9 + 7 = 16 dan M1M2 = 10, maka M1M2 < r1 + r2.
Dengan demikian, kedua bundar berpotongan.
Contoh soal 6
Diketahui persamaan lingkaran
L1 : x2 + y2 + 6x - 4y - 23 = 0
L2 : x2 + y2 - 12x + 20y + 55 = 0
Tunjukkan bahwa bundar saling bersinggungan di luar!
Penyelesaian
Syarat dua bundar bersinggungan di luar adalah
M1M2 = r1 + r2
L1 : x2 + y2 + 6x - 4y - 23 = 0
mempunyai sentra M1(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (6) , -1/2 (-4)) = (-3, 2)
dan
L2 : x2 + y2 - 12x + 20y + 55 = 0
mempunyai sentra M2(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (-12) , -1/2 (20)) = (6 , -10)
dan
M1M2 merupakan jarak dari (-3 , 2) ke (6 , -10).
Karena r1 + r2 = 6 + 9 = 15 = M1M2 maka kedua bundar bersinggungan di luar.
Contoh soal 7
Diketahui persamaan lingkaran
L1 : x2 + y2 + 20x - 12y + 72 = 0
L2 : x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0
Tunjukkan bahwa kedua bundar tidak berpotongan!
Penyelesaian
L1 : x2 + y2 + 6x - 4y - 23 = 0
mempunyai sentra M1(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (20) , -1/2 (-12)) = (-10, 6)
dan
L2 : x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0
mempunyai sentra M2(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (-4) , -1/2 (-2)) = (2,1)
dan
Ada dua jenis bundar dikatakan tidak berpotongan, yaitu dua bundar tidak berpotongan luar dengan M1M2 > r1 + r2 dan dua bundar tidak berpotongan dalam (sepusat / jarak antara dua titik sentra bundar (M1M2) ialah nol ⟺ M1 = M2 dan r1 > r2 dan tidak sepusat).
Sekarang, kita akan mengecek titik sentra dari kedua bundar tersebut untuk mengatakan kedua bundar tersebut tidak berpotongan luar atau tidak berpotongan dalam.
Titik sentra bundar pertama terhadap bundar kedua.
Substitusi sentra (-10,6) terhadap bundar L2 : x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0
Syarat titik berada di dalam bundar ialah K < 0
Karena
K = (-10)2 + 62 - 4(-10) - 2(6) - 11 = 100 + 36 + 40 - 12 - 11 = 153 > 0
maka sentra bundar pertama berada di luar bundar kedua.
Titik sentra bundar kedua terhadap bundar pertama.
Substitusi sentra (2,1) terhadap bundar L1 : x2 + y2 + 20x - 12y + 72 = 0
Syarat titik berada di dalam bundar ialah K < 0
Karena
K = 22 + 12 + 20(2) - 12(1) + 72 = 4 + 1 + 40 - 12 + 72 = 103 > 0
maka sentra bundar pertama berada di luar bundar pertama.
Jadi , sanggup kita simpulkan bahwa kedua bundar tidak berpotongan dalam, selanjutnya akan kita tunjukkan bahwa kedua bundar tersebut tidak berpotongan luar.
Syarat dua bundar tidak berpotongan luar adalah
M1M2 > r1 + r2
M1M2 merupakan jarak dari (-10,6) ke (2,1)
Karena
M1M2 = 13
r1 + r2 = 8 + 4 = 12
maka M1M2 > r1 + r2
Dengan demikian, kedua bundar tidak berpotongan di luar.
Contoh soal 8
Diketahui jari-jari bundar L1 yaitu r1 = 13cm dan jari-jari L2 yaitu r2 = 6cm.
Jika jarak titik sentra kedua bundar ialah M1M2 = 25cm, maka tentukan panjang garis singgung komplotan luar kedua bundar tersebut!
Penyelesaian
Diketahui :
• r1 = 13cm
• r2 = 6cm
• M1M2 = 25cm
Ditanyakan : panjang garis singgung komplotan luar PQ
Jadi , panjang garis singgung komplotan luar kedua bundar ialah 24 cm.
sekian soal dan pembahasan irisan dua lingkarannya. semoga sanggup menjawab pertanyaan teman-teman semua.
0 Response to "Rangkuman Materi, Rujukan Soal Dan Pembahasan Irisan Dua Lingkaran"
Post a Comment