Rangkuman Materi, Pola Soal Dan Pembahasan Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran - Materi Persmaan bulat biasanya akan dibahas sesudah irisan kerucut. beberapa hal yang akan kita pelajari pada bahan ini yaitu bentuk umum persamaan lingkaran.  itu yaitu pondasi dasar yang harus ada di luar kepala.

subbab terkait diantaranya yaitu kedudukan garis terhadap lingkaran, persaman bulat melalui 3 titik dan lain sebagainya. semua akan dibahas dalam postingan ini. mimin sudah menyediakan pola soal dan pembahasannya. 

sebagai pengingat coba baca beberap rumus berikut.

Sehingga, untuk menentukan  persamaan lingkaran, langkah yang harus dilakukan adalah:
1. Menentukan sentra dan jari—jarinya
2. Menentukan persamaan bulat yang sesuai
(x-a)2 + (y – b)2  = r2 atau x2 + y2 = r2

Persamaan Jarak pada Lingkaran

1. Jarak titik (x1 , y1) ke titik (x2 , y2)

2. Jarak titik (x1 , y1) ke garis Ax + By + C = 0

Persamaan Garis Singgung

Garis yang memotong bulat di satu titik disebut garis singgung. Ada tiga hal yang menentukan, yaitu:

1. Apabila diketahui titik pada lingkaran
Terdapat titik (x1 , y1) pada lingkaran, maka persamaan harus diubah sebagai berikut:

Persamaannya menjadi:

2. Apabila diketahui titik di luar lingkaran
a. Tentukan persamaan garis kutub (polar) dari titik A(x1, y1) terhadap lingkaran.
b. Melalui titik potong antara garis kutub
c. Tentukan persamaan garis singgung melalui titik potong garis kutub (polar) dan

3. Diketahui Gradien
Apabila diketahui titik () dengan gradien m pada lingkaran.

Kedudukan Dua Lingkaran

Apabila jarak antara pusat-pusat bulat kita sebut d, untuk r1 dan r2 merupakan jari-jari pada masing-masing kedua lingkaran, maka kedua bulat akan:
1. Saling lepas, sehingga d ˃ r1 + r2
2. Saling bersinggungan di dalam lingkaran, sehingga d = |r1 – r2|
3. Saling bersinggungan di luar lingkaran, sehingga d = r1 + r2
4. Saling berpotongan, sehingga |r1 – r2| < d <  r1 + r2
5. Lingkaran di dalam lingkaran, sehingga d = ˂ r1 – r2

Contoh soal dan pembahasan irisan dua lingkaran

Soal No. 1

Diberikan sebuah bulat ibarat gambar berikut! 

Tentukan:

a) koordinat titik sentra lingkaran

b) jari-jari lingkaran

c) persamaan lingkaran

Pembahasan

a) koordinat titik sentra lingkaran

sentra bulat terletak pada x = 5 dengan y = 6 sehingga koordinatnya yaitu (5, 6)

b) jari-jari lingkaran

sesuai gambar diatas, jari-jari bulat yaitu 5 − 2 = 3

c) persamaan lingkaran

bulat dengan titik sentra di (a, b) dengan jari-jari r akan mempunyai persamaan berikut:

(x − a)2 + (y − b)2 = r2 

dimana a = 5, dan b = 6

sehingga

(x − 5)2 + (y − 6)2 = 32

(x − 5)2 + (y − 6)2 = 9

Soal No. 2

Persamaan suatu bulat yaitu x2 + y2 − 8x + 4y − 5 = 0

Tentukan:

a) titik sentra lingkaran

b) jari-jari lingkaran

Pembahasan 

Suatu bulat x2 + y2 + Ax + By + C = 0 

akan mempunyai titik sentra (−1/2A, −1/2 B) dan jari-jari r = √[1/4 A2 + 1/4 B2 −C] . 

Dari persamaan bulat diatas nilai :

A = −8, B = 4 dan C = − 5

a) titik sentra (−1/2[−8], −1/2 [4]) = (4, −2)

b) jari-jari bulat r = √[1/4 (−8)2 + 1/4 (4)2 −(−5)] = √25 = 5

Soal No. 3

Jari-jari dan sentra bulat yang mempunyai persamaan x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0 adalah...

A. 5 dan (−2, 3)

B. 5 dan (2, −3)

C. 6 dan (−3, 2)

D. 6 dan (3, −2)

E. 7 dan (4, 3)

Pembahasan

x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0 

A = 4

B = −6

C = −12 

Pusat: 

Jari-jari: 

Sehingga jari-jari dan pusatnya yaitu 5 dan (−2, 3).

Soal No. 4

Lingkaran (x + 6)2 + (y + 1)2 = 25 menyinggung garis y = 4 di titik …

1. (-6,4)

2. (6,4)

3. (-1,4)

4. (1,4)

5. (5,4)

Pembahasan

Diketahui:

y = 4

Untuk mencari x:

(x + 6)2 + (y + 1)2 = 25

(x + 6)2 + (4 + 1)2 = 25

(x +6)2 + 25 = 25

(x + 6)2 = 0

x = -6

Sehingga bulat menyinggung garis y = 4 di titik (-6,4)

Jawaban : A

Soal No.5

Diketahui bulat x2 + y2 – 4x + 2y + C = 0  melalui titik A(5,-1). Jari-jari bulat tersebut sama dengan …

1. √7

2. 3

3. 4

4. 2√6

5. 9

Pembahasan 

Diketahui titik A(5,-1) melalui persamaan:

x2 + y2 – 4x + 2y + C = 0

x = 5, y = -1

52 + (-1)2 – 4(5) + 2(-1)  + C = 0

25 + 1 – 20 – 2 + C = 0

C = – 4

Maka persamaannya menjadi  x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0

A = 4, B = 2, C = – 4

Jawaban : B

Soal No.6

Persamaan bulat dengan sentra (-1,1) dan menyinggung garis 3x – 4y + 12 = 0 yaitu …

1. x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0

2. x2 + y2 + 2x – 2y – 7 = 0

3. 4x2 + 4y2 + 8x – 8y – 17 = 0

4. x2 + y2 + 2x – 2y – 2 = 0

5. 4x2 + 4y2 + 8x – 8y – 1 = 0

Pembahasan

Diketahui: A = 3, B = – 4, x1 = – 1, y1 = 1, C= 12

Jarak titik (-1, 1) ke garis 3x – 4y + 12 = 0:

Maka persamaan bulat dengan sentra (a,b) → P (-1, 1) dan jari-jari 1 (d = r):

(x – a)2 + (y –b)2 = r2

(x – (–1))2 + (y – 1)2 = 12

(x+1)2 + (y –1)2 = 1

x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0

Jawaban : A

Soal No. 7

Lingkaran dengan persamaan 2x2 + 2y2 − 1/2 ax + 4y − 12 = 0 melalui titik (1, − 1). Diameter bulat tersebut adalah....

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

E. 8

Pembahasan

Masukkan titik (1, − 1) ke persamaan bulat untuk mendapat nilai a terlebih dahulu: 

Kaprikornus persamaan lingkarannya bergotong-royong adalah 

Jari-jarinya: 

Diameternya yaitu 2 × 4 = 8

Soal No. 8

Diberikan persamaan lingkaran:

x2 + y2 −4x + 2y − 4 = 0. 

Titik A mempunyai koordinat (2, 1). Tentukan posisi titik tersebut, apakah di dalam lingkaran, di luar bulat atau pada lingkaran! 

Pembahasan

Masukkan koordinat A ke persamaan lingkarannya:

Titik A (2, 1)

x = 2

y = 1

x2 + y2 −4x + 2y − 4 

= (2)2 + (1)2 −4(2) + 2(1) − 4 

= 4 + 1 − 8 + 2 − 4

= −5

Hasilnya lebih kecil dari 0, sehingga titik A berada di dalam lingkaran.

Aturan selengkapnya:

Hasil < 0 , titik di dalam lingkaran

Hasil > 0 , titik akan berada di luar lingkaran.

Hasil = 0, maka titik berada pada lingkaran.

NEXT PAGE >> 1 2 3

Share this post